插值建议（线性，三次？）

Question

我需要找到未定义函数与阈值相交的点的近似值。我正在逐步穿越空间，每当发现随后的两个步骤位于阈值的不同侧时，我会在两者之间添加一个点：

_{（来源：ning.com）}

我的第一种方法是选择中间点，但这显然是一个糟糕的解决方案：

_{（来源：ning.com）}

我现在使用的是线性插值，可以得出合理的结果，但是底层函数实际上永远不会是线性的。因此，这仅在我的步长足够小时才有效：

_{（来源：ning.com）}

对基本函数进行采样可能会非常昂贵，但是我想尝试添加一个或两个其他采样以获得更好的近似值。这里可以使用三次插值吗？像这样：

_{（来源：ning.com）}

还是有更好的方法？

David Rutten非常有义务

ps。我正在用C＃编写，但这是语言不可知的问题。

Answer 1

您的最后一张图片仅显示三个点，仅足以定义二次多项式，而不是三次多项式。对于三次插值，您需要四个点。三次多项式可以用不同的方式拟合；这里有两个。

最直接的方法是简单地让（唯一）多项式通过所有四个点。

另一种方法是使用切线。同样，我们需要四点。让左边的两点定义一个斜率。让多项式通过第二个点（通常，它不会通过第一个点），并匹配该点计算的斜率。右侧第四点和第三点也是如此。

顺便说一句，任何高阶多项式都可能不是一个好主意，因为即使存在一点点输入噪声，它们也会变得非常不稳定。

如果您提供有关您的问题领域的更多详细信息，我也许可以给出更具体的答案。例如，您的数据点来自哪里，您通常可以期望什么样的曲线，以及如果需要的话您可以返回并采样更多吗？如果需要的话，我也可以提供方程和伪代码。

更新：愚蠢的我留下了一句话，提到了两种方式，但没有把它们打出来。现在把它们打出来。