如何计算知道半径和中心点的圆上的点

Question

我有一个复杂的问题,它涉及对我不自信的数学的理解.

一些轻微的背景可能有所帮 我正在为儿童建立一个3D训练模拟器,它将使用WebGL在浏览器中运行.我正在尝试创建一个点网络来放置轨道资产(见图)并为列车移动提供参考.

为了帮助解释我的问题,我创建了一个可视化表示,因为我是一个可以编写脚本而不是程序员或数学家的设计师:

基本上,我有3个形状(图A,B和C),虽然它们有宽度,但可以表示为A和曲线(B和C)的直线.曲线B和C从A导出(弯曲修改),因此长度(l)都是112.曲线(B和C)各自的半径(r)为285.5,(a)角度弯曲在22.5°.

每个形状(A,B和C)都有一个注册点(起始点),由每个形状的绿色框的中心表示.

我要做的是创建一个从0,0开始的"轨道"网络(使用标准的笛卡尔坐标).

我的问题是在曲线后放置下一个元素的位置.如果它是直线轨道那么没有问题,因为我可以使用长度作为沿y轴的恒定偏移,但这将是无聊的,所以我需要添加曲线.

图D.演示了一个可能的轨道布局示例,但请理解我不是在寻找静态答案(基于图像中所有位置的位置),我需要一个可以应用的公式,无论我如何配置跟踪.

使用图D.我试图找出在第一个弯曲元件之后放置第二个弯曲元件的位置.我使用公式绘制了圆的圆周点,给出了它的中心坐标和半径(图E.).

我有点1,因为这只是设置直线长度(y位置)的情况.我可以很容易地计算圆的中心,因为这只是偏移的y位置,半径(r)的偏移(x位置)和角度(a)总是22.5°(顺便说一下,它被转换为Radians根据配方要求).

在通过公式传递值后​​,我没有得到正确的结果,因为公式假设我从3点开始逆时针工作,所以我不得不从(a)中扣除180并将其转换为Radians以获得预期结果.

这确实有效,如果我想创建一个180°的曲线,我可以使用相同的中心点,每次从角度减去22.5°.大.但我想要一个更加动态的轨道布局,如图.D&E

那么,我将如何进入图E中的工作点5,因为它代表了该曲线段的中心点？我根本不知道.

另外,作为一个额外的问题,这是正确的做法,还是我过于复杂的事情？

这个问题是阻止我构建游戏的唯一问题,正如你可以理解的那样,它有点大,所以我感谢任何人提前做出的贡献.

Answer 1

在构建轨道时,下一条轨道的位置需要相对于轨道当前末端的位置和方向.

我将存储的(x,y)的位置和角度a,以指示当前点(与x,y从0开始,并a在PI/2弧度,其对应于在"从3点钟逆时针"系统直线上升开始).

然后构建

fx = cos(a);
fy = sin(a);
lx = -sin(a);
ly = cos(a);

它对应于"向前"和"向左"向量的x和y分量,相对于我们当前面向的方向.如果我们想将我们的位置向前移动一个单位,我们将(x,y)增加(fx,fy).

在您的情况下,放置直线部分轨道的规则是:

x=x+112*fx
y=y+112*fy

放置曲线的规则稍微复杂一些.对于向右转弯的曲线,我们需要向前移动112*sin(22.5°),然后向右移动112*(1-cos(22.5°),然后顺时针旋转22.5°.在代码中,

x=x+285.206*sin(22.5*pi/180)*fx // Move forward
y=y+285.206*sin(22.5*pi/180)*fy

x=x+285.206*(1-cos(22.5*pi/180))*(-lx) // Side-step right
y=y+285.206*(1-cos(22.5*pi/180))*(-ly)

a=a-22.5*pi/180 // Turn to face new direction

左转就像向右转,但是负角度.

为了将后续件,只需再次运行此程序,计算fx,fy,lx并ly与现在更新的值a,然后递增x,并y取决于什么类型的赛道一块是下一个.

还有一点你可以考虑; 根据我的经验,如果你坚持做90°转弯或相当对称的布局,那么用这些碎片构建形成闭合环的轨道通常是有效的.但是,制作不完全连接的曲目非常容易,并且看到如何修改它们以允许它们加入并不明显.如果你的程序允许孩子们设计他们自己的布局,也许要记住一些事情.