浮点相等测试和额外精度：这段代码会失败吗？

Question

讨论开始于我对另一个问题的回答。以下代码确定机器 epsilon：

float compute_eps() {
  float eps = 1.0f;

  while (1.0f + eps != 1.0f)
    eps /= 2.0f;

  return eps;
}

在评论中建议1.0f + eps != 1.0f测试可能会失败，因为 C++ 标准允许使用额外的精度。虽然我知道浮点运算实际上以更高的精度执行（比实际使用的类型指定的精度更高），但我碰巧不同意这个提议。

我怀疑在比较操作（例如==or ）期间!=，操作数不会被截断为其类型的精度。换句话说，1.0f + eps当然可以以高于float（例如，long double）的精度进行评估，并将结果存储在可以容纳 的寄存器中long double。但是，我认为在执行!=操作之前，左操作数将从long doubleto截断float，因此代码永远不会无法eps精确确定（即它永远不会进行比预期更多的迭代）。

我在 C++ 标准中没有找到关于这个特殊情况的任何线索。此外，代码运行良好，我确信在执行过程中使用了额外精度技术，因为我毫不怀疑任何现代桌面实现实际上在计算过程中都使用了额外精度。

你怎么看待这件事？

Answer 1

抱歉，这个例子是 C 而不是 C++。适应应该不难：

~ $ gcc -mfpmath=387 -mno-sse2  c.c
~ $ ./a.out 
incredible but true.
~ $ gcc -mfpmath=sse -msse2  c.c
~ $ ./a.out 
~ $ cat c.c
#include "stdio.h"

double d = 3. / 7.;
double d1 = 3.;

int main() {
  if (d != d1 / 7.)
    printf("incredible but true.\n");
  return 0;
}

gcc -msse2 -mfpmath=sse是严格的 IEEE 754 编译器。使用该编译器，if永远不会采用 。不过，gcc -mno-sse2 -mfpmath=387必须使用精度更高的387单元。它不会降低测试前的精度!=。该测试最终将右侧 3. / 7. 的扩展精度结果与左侧相同除法的双精度结果进行比较。这会导致可能看起来很奇怪的行为。

和 均gcc -msse2 -mfpmath=sse符合gcc -mno-sse2 -mfpmath=387标准。只是前者很容易生成SSE2指令，从而可以提供严格的IEEE 754实现，而后者则必须用古老的指令集尽力而为。

一个循环例如：

while (eps1 != 1.0f)
  eps /= 2.0f, eps1 = 1.0f + eps;

witheps1声明的类型float在扩展精度方面应该更加稳健。

生成在比较之前不截断的 x87 代码的编译器是这样的：

~ $ gcc -v
Using built-in specs.
Target: i686-apple-darwin11
Configured with: /private/var/tmp/llvmgcc42/llvmgcc42-2336.11~148/src/configure --disable-checking --enable-werror --prefix=/Applications/Xcode.app/Contents/Developer/usr/llvm-gcc-4.2 --mandir=/share/man --enable-languages=c,objc,c++,obj-c++ --program-prefix=llvm- --program-transform-name=/^[cg][^.-]*$/s/$/-4.2/ --with-slibdir=/usr/lib --build=i686-apple-darwin11 --enable-llvm=/private/var/tmp/llvmgcc42/llvmgcc42-2336.11~148/dst-llvmCore/Developer/usr/local --program-prefix=i686-apple-darwin11- --host=x86_64-apple-darwin11 --target=i686-apple-darwin11 --with-gxx-include-dir=/usr/include/c++/4.2.1
Thread model: posix
gcc version 4.2.1 (Based on Apple Inc. build 5658) (LLVM build 2336.11.00)

这是另一个：

~ $ clang -mno-sse2  c.c
~ $ ./a.out 
incredible but true.
~ $ clang -v
Apple LLVM version 4.2 (clang-425.0.24) (based on LLVM 3.2svn)
Target: x86_64-apple-darwin12.3.0
Thread model: posix